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Reconocidos teoremas matemáticos se podrían resolver entre ellos mismos
Explorando el impacto del teorema en geometría y álgebra. Fotos: Nicol Torres, Unimedios
Una visión intuitiva: fibrados vectoriales como flechas suaves en un globo, “sheaves coherentes” como temperaturas coherentes en cada punto.
Espacios cubiertos y su trivialidad: transformando figuras geométricas de manera sencilla, como una espiral desde una circunferencia.
Cristian López Morales, matemático de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UNAL Sede Manizales. Foto: Oficina de Comunicaciones de la UNAL Sede Manizales.
Para entender la importancia del aporte de Cristian López Morales, matemático de la Universidad Nacional de Colombia (UNAL) Sede Manizales, lo primero que se debe recordar es que un teorema es una afirmación que expresa una verdad sobre objetos matemáticos como números, conjuntos, funciones o geometría, y pueden ser tanto verdaderas como falsas, evitando ambigüedades. Por ejemplo: 2 + 2 = 4" es verdad, mientras que "3 × 7 = 20, es falsa.
Su trabajo de grado tuvo como objetivo explorar en detalle el teorema de Quillen-Suslin, formulado por los matemáticos Daniel Quillen y Andrei Suslin, y que se erige como un pilar fundamental en el campo de las matemáticas –demostrado en 1976–, para utilizarlo como solución a la conjetura de Serre, planteada en 1950 por Jean-Pierre Serre, un problema significativo en la teoría de módulos y geometría algebraica.
“Aunque han pasado años desde que se resolvieron estos teoremas, aún siguen siendo importantes en el campo de la teoría de módulos y la geometría algebraica”, menciona el matemático López.
Su trabajo arroja luces sobre el profundo impacto del teorema en áreas como la geometría algebraica, el álgebra homológica y el álgebra conmutativa, dando respuesta a la siguiente pregunta: ¿cuándo los fibrados vectoriales sobre el esquema afín Spec(K[x_1,…,x_n]) son triviales?, la cual, en términos de teoría de módulos, se traduce en: ¿son todos los módulos proyectivos sobre el anillo de polinomios libres?
El matemático explica lo anterior así: “imaginen que están en un globo. Un fibrado vectorial suave real sobre el globo consistiría en considerar por cada punto de este una hoja de papel que toque exclusivamente en ese punto al globo, y pegarlas todas para formar una nueva figura, manteniendo la forma obtenida”.
Por otro lado, los “sheaves, no coherentes” serían como tener una temperatura asignada a cada punto del globo, y estas temperaturas están organizadas de manera que si se mueven de un lugar a otro en el globo, la temperatura cambia de manera (coherente y) suave, sin brincos bruscos (o inconsistencias).
Para comprender todo lo anterior, el matemático abordó a fondo una rama de las matemáticas denominada “topología”, la cual se encarga de estudiar objetos que permanecen inalterados por transformaciones continuas, clasificándolos a partir de su estructura y no precisamente por su forma o tamaño. Para ello, fusionó los dos teoremas clásicos destacando su aplicabilidad en diversas áreas, como por ejemplo:
Aunque son conceptos muy técnicos y numéricos, que no cuentan con una descripción tan gráfica, más allá de las ecuaciones, de lo que se trata es de una explicación muy breve de cada concepto para que sea más entendible con la ayuda del investigador.
Este aporte como contribución al avance del conocimiento llevó al investigador a sustentar su tesis en la Universidad Pomona, en Claremont, California (Estados Unidos).
