¿Las matemáticas dicen la verdad? La demostración, clave para su enseñanza

Entre los retos que tiene la enseñanza de las matemáticas está el de demostrar su veracidad. Jorge Andrés Hernández González, magíster en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad Nacional de Colombia (UNAL) Sede Medellín, explica que “en áreas como la biología o la química los experimentos validan teorías e hipótesis, mientras que en la matemática pareciera que solo hay que ‘confiar’ en que algo es verdadero, porque ¿cómo justificar, por ejemplo, que un número par multiplicado por otro número par siempre dará un número par?”.

Para este caso, experimentar implicaría tomar piedras o cualquier otro objeto y multiplicarlos hasta llegar a 100, o incluso hasta 1.000, esperando encontrar la verdad o el error, pero como es imposible hacerlo hasta el infinito, en algún momento hay que parar y confiar en que la teoría es verdadera.

“Para los estudiantes es muy difícil entender esto y justificar verdades matemáticas sin tocar el mundo físico. Por eso es fundamental entender cómo se ha hecho a lo largo de la historia, porque en definitiva sigue siendo una ciencia indispensable en la actualidad”, continúa el magíster.

A partir de la revisión crítica de más de un siglo de literatura, él dilucidó tres corrientes clásicas que serían clave: logicismo, formalismo e intuicionismo. “Para entender de forma muy sencilla lo que propone cada una podemos imaginar un juego de ajedrez en el que ganar una partida es igual a validar una verdad matemática”.

Así, para un logicista, la lógica –un lenguaje universal y serie de códigos coherentes– serviría para utilizar muchos juegos, entre ellos el ajedrez. Por eso, si se pensara lógicamente se ganarían muchas partidas, y si esta se comprendiera en su totalidad, quizá se podría ser igual de bueno en muchos otros juegos.

Por otro lado, para un formalista la lógica sería solo una ayuda y el ajedrez una disciplina independiente. Para él serían fundamentales dos cosas para ganar: saber muy bien las reglas del ajedrez y reflexionar permanentemente sobre el juego, ajustar reglas, agregar o quitar fichas, modificar el tamaño del tablero, etc.

Por último, para un intuicionista, el ajedrecista sería fundamental, pues siempre hay una persona detrás de la partida, además de que este juego surgió de una idea humana. Para ganar o modificar el juego, la intuición sería el punto de inicio de nuevas ideas que posteriormente se perfilarían o “pulirían” con otros procesos mentales.

“Está analogía es simple pero funciona tan bien, que nos ayuda a comprender por qué es casi imposible ‘aferrarse’ a solo una de las corrientes: hay aportes valiosos en todas y gracias a cada una las matemáticas han avanzado como ciencia formal”, continúa el magíster Hernández.

Colombia y la falta de demostración

El primer DBA ministerial, publicado hace 18 años, incluía en el plan de matemáticas el verbo “demostrar”, por ejemplo, mediante teoremas como el de Pitágoras. “Había un camino hacia la demostración, sin embargo, con el cambio que se hizo en 2016, los estándares básicos se convirtieron en aprendizajes esperados, se flexibilizaron y dejó de aparecer explícitamente la acción demostrativa, lo cual posibilitó diversas interpretaciones, entre las que se permite su eliminación de las escuelas, aunque es vital en las matemáticas”.

A partir de este panorama el magíster, con el acompañamiento de su director de tesis, el profesor Diego Alejandro Muñoz Durango, rastreó otras guías del país, entre las que resalta una didáctica elaborada para Antioquia en 2014 por la Sociedad Colombiana de Matemáticas y la UNAL.

“Allí encontramos grandes aportes para la demostración matemática, ejercicios específicos, explicaciones y conceptos clave, lo que nos dejó una pregunta importante: ¿cómo es posible que estemos enseñando matemáticas sin demostración? Es como enseñar física sin hacer ni un experimento. Los estudiantes aprenden, hacen cálculos, pero se pierden de la esencia de este conocimiento”, complementa.

Aunque los DBA tienden al formalismo, siguen siendo valiosos. “No obstante, lo ideal es que los profesores aprovechen revisiones críticas como esta tesis y se nutran conceptualmente. Las matemáticas son muy amplias y conocerlas de cerca permite enseñarlas de desde su surgimiento, encontrar otros caminos y otras palabras para comunicar”.

De igual forma, la tesis es útil para cualquier persona que se haya preguntado alguna vez: cómo compruebo que X + X es igual a 2X. “No se trata solo de creerle al profesor. Muchos científicos se hicieron esa pregunta tiempo atrás y trataron de resolverla desde distintos puntos de vista. Existen respuestas, y afortunadamente algunas instituciones educativas siguen incluyendo en sus currículos de manera explícita la demostración”.